馮文's 的頭像

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猜帽子的顏色(答案)

設想,學生A、B、C 三人,頭戴帽子不是紅色就是白色。每人看不見自己的顏色,但其他二人清楚可見。其實,三人同是紅色。老師進來,當面問她們知否自己頭上帽子的顏色,當然她們都說不知道。老師說,其中一頂帽子是紅色。這時,老師再問同學A,知否自己的顏色,她說否。問同學B,她亦說否。問同學C,她考慮過前述兩同學的回應,想一想,就知道自己的帽子是紅色。她是怎樣想出來的呢?

猜帽子題目坊間很多,但都不離這原型。據說最早刊於英國數學家Littlewood 的1958年名著《A Mathematician's Miscellany》,Martin Gardner亦有提及(不是刻意重覆只是他的範圍太廣)。這跟上期兩個信封的題目,是同一道理,都是說明common knowledge 的運用。Robert Aumann 是博弈論大師,曾多方面討論;闡釋詳盡則以Geanakoplos 1992 為最,載於《Journal of Economic Perspectives》。

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《周五寫數學》 [ 序1 ] [ 之1 ] [ 之2 ] [ 之3 ] [ 之4 ] [ 之5 ]

簡單答案:
從老師的提示(有一頂帽子是紅色),如果B和C同樣都是白色,A立即知道自己是紅色;A答不出來,等於告訴大家 {B和C同樣是白色} 是錯的。轉到B,如果C是白色,用前述的推論,B立即知道自己是紅色,但她答不出來,等於說 {C是白色是錯的。所以,C知道自己是紅色。

 

數學答案:
[ 部分取材自Geanakoplos 1992,圖中的顏色是我手繪加上的。圖中 1、2、3人等於上文同學A、B、C ]  
 
設紅色為R,白色為W,三人共八個可能性,見下圖。
 
                           
設W=0,R=1,置於三軸如下圖,三人以不同顏色區分。
                               
 
老師提示、同學A、同學B回答之後,鏈接逐一脫落,剛臨到同學C之時,圖變為如下:
                                  
於是,C看看A和B二人皆紅色,唯一的可能性只RRR,她必然是紅色。
 
 

 

    CC BY-NC-ND   © FengWen 馮文

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