趣談:「河圖洛書」和「魔方」

緣起:多月前,承蒙二位壇友提供洛書的九宮圖表(*1),覺得甚是神奇。現在找了一些資料和大家分享。
 
「河 圖洛書」在源遠流長的中華文化歷史上佔有一個很重要的地位。其歷史可以追溯至數千年前不可考的年代。它們一直影響主導着中華文化,直至今天。它們是陰陽五 行、風水術數之源,也是天文、數學始袓。後來更衍生出太極八卦、周易哲學(易經),道家的宗教和哲學;甚至太極拳及中醫的經脈針灸理論(黃帝內經)。可説 是中華文化之濫觴。
 
神秘的「河圖」與「洛書」,其實只是兩片圖案。
 
易經《繫辭》曰:「河出圖,洛出書,聖人則之。」
相傳遠古伏羲時代,從黄河中走出了一匹龍馬,背負一幅圖案獻給伏羲,是為「龍馬負圖。   
又傳說後來大禹治水時,洛河中浮現神龜背刻書文。故稱「神龜載書」。
 
兩幅類似圖案並稱「 河圖洛書」:
 

兩幅圖案共通之處,都是顯示一些不同數目的黑白棋子組成不同數字,分佈於一個四方格內。白色奇數為陽,黑色偶數為陰。

據我猜測,這兩幅圖可能在更久遠的年代(甚至過萬年)便已存在。當時的遠古人應還未有文字及數字,所以用黑白棋子般的形狀刻在獸皮龜甲上。後來古人(數千年前)發現這些在河泥出土的獸皮龜甲遺跡,再穿鑿附會地作了這兩個有關伏羲和大禹神話。這幾千年來(包括現代),人們便根據這兩個圖案發展出一系列的文化(如上所述)。

篇幅所限,在這裏我不打算詳述含數字「1-10」的「河圖」,因包含數字「1-9」的「洛書」似乎隱藏着更漂亮的數學現象。

用現代的數學眼光來看,「洛書」原來就是「魔方」(Magic Square)。魔方引人入勝,很多趣味數學(Recreational Mathematics)的書本都有長篇討論。(如*2)。甚至現在流行的「數獨」(Sodoku)也可追溯至魔方。

洛書魔方各數字可以排列在一個 3x3 的方陣中。我們發覺直、橫、對角線所有數字相加都等於 15。

現在讓我們考慮一個更廣義的 nxn 魔方。魔方的特性是:縱橫對角線數字之和都等於一個「魔常」(Magic Constant), M。

在一個 nxn 的方陣中,所有數字是(總共有n2項):

1, 2, 3, ..., n2

而總和是 n 行(或列)乘 M,即

1 + 2 + 3 + ... + n2 = n x M,

所以 3x3 的魔方, M 是 15。

當 n = 4, 5, 6, 7, 8, 9... 時,M = 34, 65, 111, 175, 260, 369,...等等。

傳統的洛書排法是如龜圖(492放在上方),其口訣謂:

戴九履一、 左三右七、 二四為肩、 六八為足、 以五居中。

事實還有旋轉、反射其他七種排法,結果都是一樣。如上圖是旋轉270度。

當去除旋轉、反射的重複排法後,其實 n=3 魔方只有一種排法;n=4,有880種;n=5,竟有近3億種排法,而且還要直至1973年用了PDP-10小型電腦的100小時計算時間才算出(*3)。至於 6x6 魔方的數目則乃是未知之數。

魔方還有很多令人驚嘆的性質,數本書也寫不完。如:

至於魔方的構造方法和其他有趣問題,容後有機會再和大家分享。

現在先來玩個填充遊戲:

(數列: 70,71,...,78;求 a, b, c, d, e, f 及 M)

a    b   71

72  c   d

e   70   f

答案稍後提供。

 

(*1) http://forum.hkej.com/node/116418

      http://forum.hkej.com/node/113082

(*2) Gardner, Martin.  Time Travel and Other Mathematical Bewilderments (1988). Freeman

(*3) Pickover, Clifford.  The Zen of Magic Squares Circles and Stars (方陣談襌)(2002).  PUP

PS.  Re Pictures: Please see below in separate posts.  All the pictures are subsequently re-inserted.

所有評論

Barwon - 2015年03月26日 00:18

a = 73

b = 78

c = 74

d = 76

e = 77

f = 75

養珠樓主 - 2015年03月26日 06:23

既然”當去除旋轉、反射的重複排法後,其實 n=3 魔方只有一種排法“,那只要將每一個位置的數字加69就是答案了。

fairdinkum - 2015年03月26日 07:25

恭喜兩位,搶閘成功!

fairdinkum - 2015年03月26日 07:34

Yes, it is just a trick, add 69 to every number of the original magic square.  It becomes

73   78   71

72   74   76

77   70   75

and M = 222.

fairdinkum - 2015年03月26日 07:39

To generalize, let us assume a nxn magic square with:

1st term = a, common difference = d.

All the numbers will form the following arithmetic sequence:

{ a, a+d, a+2d, a+3d,…, a+(n² -1)d } with a total of n² terms.

Sum S = n² [a + a+(n² -1)d]/2.

As S = nM, so

 

M = n[2a+(n² -1)d]/2.

 

Now a = 70, d = 1, n = 3, therefore M = 222.

 

fairdinkum - 2015年03月26日 08:03

If n is odd, the middle term in the sequence is
[2a+(n2-1)d]/2,  which will always be the number occupying the centre of the square;

M is then just the number at the centre of the square times n.

fairdinkum - 2015年03月26日 08:06

In the 3x3 magic square, let us make the number at the centre of square 0, i,e,

[2a+(n2-1)d]/2 = 0, where d =1, so a = -4, the sequence is then:
 
{ -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 } and the square becomes:
 
-1    4   -3
-2    0    2
 3   -4    1
 
which is equivalent to subtracting the centre number 5 from every number in the square.
 

金弓 - 2015年03月26日 08:27

樓主,早安。

 

據公式1+2+3+……+N二次冪=N x M

那個M如何計得?請明示。

Barwon - 2015年03月26日 09:35

「九宮飛星」排位,數手指可也。

fairdinkum - 2015年03月26日 09:43

金弓兄,早安!試簡答如下。
 
以該數列舉例:
{ 1, 2, 3,...,7, 8, 9 }, 總和是:
 S = 1+(1+1)+(1+2)+...+(1+6)+(1+7)+(1+8), 又可頭尾掉轉寫成:
 S = 9+(9 -1)+(9 -2)+...+(9 -6)+(9 -7)+(9-8);  兩行相加抵消可得:
2S = 9x(1+9),
  S = 9x(1+9)/2.
 

總結來說,

數列之和 = 項數 x(首項+尾項)/ 2 

所以數列:

{1, 2, 3,..., n2} 之和:

S =n2 x (1 + n2) / 2 而

S =n x M,所以

M = n x  (1 + n2) / 2

金弓 - 2015年03月26日 10:41

多謝指教。

但{1, 2, 3,..., n x n}似乎沒有規律,不是等差數列,沒法以項數 x(首項+尾項)/ 2 計算。

可否告知之{1, 2, 3,..., n x n}之通項公式?

fairdinkum - 2015年03月26日 11:03

因為魔方是 nxn,所以有n²項(不是n),恐怕因此引起誤會。例如洛書是3x3,故有9項。

再看這數列:

{1, 2, 3,..., n²-2, n²-1, n²}

首項  = 1, 尾項 =n²,共差 = 1, 項數 = n²。

歸納起來,請看我上面 07:39 說的:

1st term = a, common difference = d.

All the numbers will form the following arithmetic sequence:

{ a, a+d, a+2d, a+3d,…, a+(n² -1)d } with a total of n² terms.

Sum S = n² [a + a+(n² -1)d]/2.

As S = nM, so

M = n[2a+(n² -1)d]/2.

金弓 - 2015年03月26日 11:55

多加個尾二項(n x n)-1,即{1, 2, 3,..., (n x n)-1, n x n},就明白了,多謝。

fairdinkum - 2015年03月28日 07:28

pictures re-posted, one by one in order, please click to view

fairdinkum - 2015年03月28日 07:31

pictrures of Ho Tu & Lo Shu

fairdinkum - 2015年03月28日 07:33

Magic Constant calculations

fairdinkum - 2015年03月28日 07:35

Sum of squares

 

fairdinkum - 2015年04月01日 06:50

All the pictures have been re-inserted into proper places.  Sorry for the inconvenience.

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