《信報》自由的國度:在去年的〈數學不是算術〉 [4](刊2017年7月29日《信報》)一文中,我提出過一個關於武功的類比,以帶出思維能力的重要性:靈活運用基本知識來解決難題,就像用木劍練武。當一個人以草木竹石皆可為劍,拿起利劍時便會如虎添翼,正如當我們提升了思維能力,將來學了進階知識後,便可同樣靈活地運用該等知識,解決更難的問題。

最近我應一間教育機構邀請,作了題為「數學與其他科目的關係」的午餐演講。這次分享促使我構想出一個更廣闊的新類比,以說明數學與其他科目(特別是自然科學和社會科學)的分別和關係,而這些分別和關係對數學教育的模式和作用也有所啟示。

可在腦中推導出來

試想像一個由許多島嶼組成的世界。假設世界上只有兩種交通工具:飛機和電車。飛機只可在不同島嶼之間飛行,而電車只可在同一島嶼上行駛,不能過海。此外,我們也可以雙腳走路(但不能游泳)。那麼,科學的知識就像島嶼上的機場,數學知識就像島上的電車站,而思維能力則像走路的能力。我們可注意到,走路可取代電車,但無法取代飛機。

現在,讓我詳細解釋這個類比的邏輯。首先,我們必須明白,數學的研究方法跟科學是有本質分別的。數學依賴的是演繹法(deduction)。例如畢氏定理指出,任何直角三角形的兩條直角邊的平方之和,等於其斜邊的平方。我們驗證這條定理,不是通過畫出很多個直角三角形,量度其邊長,然後檢查是否符合上述關係,而是由幾何學的公理出發,通過邏輯推理而得出證明。只要我們的推理正確,這條定理就一定成立,不可能存在任何反例。

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